4.5 Serie de Taylor.

1. SERIE DE TAYLOR En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto ( a - r , a + r ) se define como la siguiente suma: Aquí, n ! es el factorial de n y f   ( n ) ( a ) indica la n-ésima derivada de f en el punto a .
2. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo ( a - r , a + r ) y la suma es igual a f ( x ), entonces la función f ( x ) se llama analítica . Para comprobar si la serie converge a f ( x ), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin .
   • Esta representación tiene tres ventajas importantes:
   • La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
   • Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
   • Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
3. Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
4. EJEMPLO Usando los términos de la serie de Taylor centrada en cero, aproxime la función f(x)=SEN X con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x=0,5. Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 3 cifras significativas.
5. EJEMPLO Remplazando la función tenemos: Sen X= sen (0)+cos(o)x - sen (0) X^2/2! - cos (o) X^3 /3! + sen(0) X^4/4! Entonces, Sen X= X – X^3/3! - X^5/5! …… Ahora remplazamos termino por termino para ver el error y de esta forma llegar a la tolerancia permitida Sen X 1 = 0.5 Sen X 2 = 0.479 Sen X 3 = 0.478
6. EJEMPLO Con el tercer termino cumplimos con la tolerancia exigida.
7. EJEMPLO Con el tercer termino cumplimos con la tolerancia exigida.

informacion obtenida de http://www.slideshare.net/Natalia1122/serie-de-taylor-4798773