Calculo Diferencial: 2011

AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , tal que $\mathrm{f}$ toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre $a$ y $b$ de $\mathrm{f}$ y la denotamos por:

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ en $n$ intervalos de la misma longitud $\left( <pre>\, \frac{b - a}{n} \, </pre> \right)$ . Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

$x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b$

donde $x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i$ .

Para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo $\left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)$ y cuya altura es de longitud $\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)$ .

Haciendo esto para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , terminamos con $n$ rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$ .

Así, cuando $n = 2$ :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo $n = 4$ :

Llamemos $S_n$ a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

$S_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

Es decir, $S_n$ tiende a $ <pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $ cuando el número de rectangulos, $n$ , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función $\mathrm{f}$ toma valores NO negativos en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ . ¿Que pasaría si $\mathrm{f}$ tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso $\mathrm{f} \ge 0$ seria aplicable al caso $0 \ge \mathrm{f}$ , pero ahora:

$S_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

y el area sobre la grafica de la función es

$-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

siendo la integral definida $\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ NO positiva porque $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ .

BIBLIOGRAFIA:

"http://www.educared.org/wikiEducared/Definici%C3%B3n_de_integral_definida._%C3%81rea_bajo_la_grafica_de_una_funci%C3%B3n.html"

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

EJEMPLO:

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta

$A =\frac{b\cdot h}{2}$

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

$A =\frac{a\cdot b}{2}$

donde a y b son los catetos.

Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplica la fórmula de Herón.

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

$A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

donde a es un lado del triángulo.

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81rea&oldid=44875457#cite_note-ref_duplicada_1-2

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/AreaEntreLasGr%E1ficasDeFunciones

Calculo Diferencial

no te late el fonpo otro men¡¡¡

lunes, 13 de junio de 2011

3.1.1 AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION

3.1.2 AREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES